Question

3．判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）=cos（$\frac{3}{2}$π+2x）+x²sinx；
（2）f（x）=$\sqrt{1-2cosx}$+$\sqrt{2cosx-1}$．

Answer 1

分析 根据已知中函数的解析式，结合函数奇偶性的定义，先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断f（-x）与f（x）的关系，进而可得答案．

解答 解：（1）函数f（x）=cos（$\frac{3}{2}$π+2x）+x²sinx的定义域R关于原点对称；
又∵f（x）=sin2x+x²sinx，
故f（-x）=sin（-2x）+（-x）²sin（-x）=-sin2x-x²sinx=-f（x），
故函数f（x）=cos（$\frac{3}{2}$π+2x）+x²sinx为奇函数；
（2）函数f（x）=$\sqrt{1-2cosx}$+$\sqrt{2cosx-1}$的定义域{x|cosx=$\frac{1}{2}$}={x|x=$±\frac{π}{3}$+2kπ，k∈Z}关于原点对称．
且f（x）=0在定义域上恒成立，
故函数f（x）=$\sqrt{1-2cosx}$+$\sqrt{2cosx-1}$即是奇函数，又是偶函数．

点评 本题考查的知识点是函数奇偶性的判断，正确理解函数奇偶性的定义，是解答的关键．