Question

12．已知函数f（x）=ax+$\frac{1}{x+b}$（a，b∈Z）．
（1）求f′（x）；
（2）若曲线y=f（x）在点（2，1）处的切线与x轴平行，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）运用导数的运算性质，计算即可得到；（2）求得切线的斜率，由切线与x轴平行，可得a，b的方程，再由切点（2，1）可得a，b的方程，解方程组，可得a，b，再由a，b为整数，可得f（x）的解析式．

解答 解：（1）函数f（x）=ax+$\frac{1}{x+b}$的导数为：
f′（x）=a-$\frac{1}{（x+b）^{2}}$；
（2）曲线y=f（x）在点（2，1）处的切线斜率为k=a-$\frac{1}{（2+b）^{2}}$，
切线与x轴平行，可得a-$\frac{1}{（2+b）^{2}}$=0，
由f（2）=1，可得2a+$\frac{1}{2+b}$=1，
解方程可得a=1，b=-3或a=$\frac{1}{4}$，b=-3，
由a，b∈Z，可得a=1，b=-3．
则f（x）=x+$\frac{1}{x-3}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查运算能力，正确求导和运用导数的几何意义是解题的关键．