Question

9．设函数f（x）=x³-ax²-4x（a是实数）
（1）若在x=-1时取得极值，求a
（2）是否存在实数a使函数f（x）在[-2，2]上单调递减，若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的导数，由题意可得f′（-1）=0，解方程即可得到a；
（2）假设存在实数a，使函数f（x）在[-2，2]上单调递减．即有f′（x）=3x²-2ax-4≤0在[-2，2]上恒成立，
令g（x）=3x²-2ax-4，即有g（-2）≤0，且g（2）≤0，解不等式组即可得到a的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=x³-ax²-4x的导数为f′（x）=3x²-2ax-4，
在x=-1时取得极值，可得f′（-1）=0，
即有3+2a-4=0，解得a=$\frac{1}{2}$；
（2）假设存在实数a，使函数f（x）在[-2，2]上单调递减．
即有f′（x）=3x²-2ax-4≤0在[-2，2]上恒成立，
令g（x）=3x²-2ax-4，即有g（-2）≤0，且g（2）≤0，
即有8+4a≤0且8-4a≤0，解得-2≤a≤2．
故存在，a的取值范围为[-2，2]．

点评 本题主要考查了函数恒成立问题，以及利用导数研究函数的单调性、极值等基础知识，考查计算能力和分析问题的能力，属于中档题．