题目内容
14．已知函数f（x）=2ax+$\frac{2a-1}{x}$+lnx．（Ⅰ）若函数f（x）在x=2处取得极值，求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0，+∞）上是单调函数，求a的取值范围．
分析 （I）由题意对函数求导，然后利用极值的概念，建立方程，求出a，再求解f（x）的单调递增区间即可；
（II）由题意对函数求导，利用函数f（x）在（0，+∞）上是单调函数，可得$\frac{1-2a}{2a}≥$0，即可求a的取值范围．
解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=2ax+$\frac{2a-1}{x}$+lnx，
∴f′（x）=2a-$\frac{2a-1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$，
∵f（x）在x=2处取得极值，
∴f′（2）=2a-$\frac{2a-1}{4}$+$\frac{1}{2}$=0，
∴a=-$\frac{1}{2}$，
∴f′（x）=$\frac{-（x+1）（x-2）}{{x}^{2}}$
由f′（x）＞0，结合函数的定义域，可得f（x）的单调递增区间是（0，2）；
（Ⅱ）f′（x）=2a-$\frac{2a-1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{（x+1）（2ax+1-2a）}{{x}^{2}}$，
∵函数f（x）在（0，+∞）上是单调函数，
∴$\frac{1-2a}{2a}≥$0，
∴0≤a≤$\frac{1}{2}$．
点评 本题考查函数的求导及极值的概念，还考查了求其单调区间，属于中档题．
练习册系列答案
数学奥赛暑假天天练南京大学出版社系列答案
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（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）从“其它渠道”中按性别比例抽取一个容量为6的样本，再从这6人中抽取3人，求抽取的3人中至少1人是女性的概率；
（Ⅲ）现从（Ⅱ）中确定的样本中每次都抽取1人，直到抽出所有女性为止，设所要抽取的人为X，求X的分布列和期望．
| 获取消息渠道 | 看电视 | 收听广播 | 其它渠道 |
| 男性 | 480 | m | 180 |
| 女性 | 384 | 210 | 90 |
（Ⅱ）从“其它渠道”中按性别比例抽取一个容量为6的样本，再从这6人中抽取3人，求抽取的3人中至少1人是女性的概率；
（Ⅲ）现从（Ⅱ）中确定的样本中每次都抽取1人，直到抽出所有女性为止，设所要抽取的人为X，求X的分布列和期望．