Question

6．设S_n是正项数列{a_n}的前n项和，且S_n=$\frac{1}{2}$a_n²+$\frac{1}{2}$a_n-1（n∈N^*）
（1）设数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=2ⁿ，设c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用数列递推式，再写一式，两式相减，可得{a_n}是以1为公差的等差数列，从而可求{a_n}的通项公式
（2）利用错位相减法，即可求数列{b_n}的前n项的和T_n．

解答 解：（1）∵S_n=$\frac{1}{2}$（a_n²+a_n）-1，S_n+1=$\frac{1}{2}$（a_n+1²+a_n+1）-1，
∴两式相减可得（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-1）=0，
∵数列{a_n}各项均正，
∴a_n+1-a_n=1，
∴{a_n}是以1为公差的等差数列，
∵S₁=$\frac{1}{2}$（a₁²+a₁）-1=a₁，
即a₁²-a₁-2=0，
解得a₁=2
∴a_n=2+n-1=n+1；
（2）∵b_n=2ⁿ，
∴c_n=a_nb_n=（n+1）•2ⁿ，
T_n=2•2¹+3•2²+…+（n+1）•2ⁿ，
2T_n=2•2²+3•2³+…+（n+1）•2ⁿ⁺¹，
两式相减得-T_n=2•2¹+2²+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹=4+$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（n+1）•2ⁿ⁺¹
=4+2ⁿ⁺¹-4-（n+1）•2ⁿ⁺¹=-n•2ⁿ⁺¹，
则T_n=n•2ⁿ⁺¹．

点评 本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．