Question

设椭圆的焦点在轴上.
（1）若椭圆的焦距为1，求椭圆的方程；
（2）设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上的第一象限内的点，直线交轴与点，并且，证明：当变化时，点在某定直线上.

Answer 1

（1）；（2）详见解析.

试题分析：（1）由椭圆的焦距为，可得，又由，从而可以建立关于的方程，即可解得，因此椭圆的方程为；（2）根据题意，可设，条件中关于的约束只有及在椭圆上，因此需从即为出发点建立，满足的关系式，由题意可得直线的斜率，直线的斜率，
故直线的方程为，当时，即点的坐标为,
故直线的斜率为，因此，化简得，又由点在椭圆上，可得，即点在直线上.
试题解析：（1）∵焦距为1，∴，∴，
故椭圆的方程为；
（2）设，其中，由题设知，
则直线的斜率，直线的斜率，
故直线的方程为，当时，即点的坐标为,
∴直线的斜率为，
∵，∴，化简得
将上式代入椭圆的方程，由于在第一象限，解得，即点在直线上.