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【题目】已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤ ),x=﹣ 为f(x)的零点,x= 为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在( )单调,则ω的最大值为

【答案】9
【解析】解:∵函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤ ),x=﹣ 为f(x)的零点,x= 为y=f(x)图象的对称轴, ∴ω(﹣ )+φ=nπ,n∈Z,且ω S+φ=n′π+ ,n′∈Z,
∴相减可得ω =(n′﹣n)π+ =kπ+ ,k∈Z,即ω=2k+1,即ω为奇数.
∵f(x)在( )单调,
(i)若f(x)在( )单调递增,
则ω +φ≥2kπ﹣ ,且ω +φ≤2kπ+ ,k∈Z,
即﹣ω ﹣φ≤﹣2kπ+ ①,且ω +φ≤2kπ+ ,k∈Z ②,
把①②可得 ωπ≤π,∴ω≤12,故有奇数ω的最大值为11.
当ω=11时,﹣ +φ=kπ,k∈Z,∵|φ|≤ ,∴φ=﹣
此时f(x)=sin(11x﹣ )在( )上不单调,不满足题意.
当ω=9时,﹣ +φ=kπ,k∈Z,∵|φ|≤ ,∴φ=
此时f(x)=sin(9x+ )在( )上单调递减,不满足题意;
故此时ω无解.
(ii)若f(x)在( )单调递减,
则ω +φ≥2kπ+ ,且ω +φ≤2kπ+ ,k∈Z,
即﹣ω ﹣φ≤﹣2kπ﹣ ③,且ω +φ≤2kπ+ ,k∈Z ④,
把③④可得 ωπ≤π,∴ω≤12,故有奇数ω的最大值为11.
当ω=11时,﹣ +φ=kπ,k∈Z,∵|φ|≤ ,∴φ=﹣
此时f(x)=sin(11x﹣ )在( )上不单调,不满足题意.
当ω=9时,﹣ +φ=kπ,k∈Z,∵|φ|≤ ,∴φ=
此时f(x)=sin(9x+ )在( )上单调递减,满足题意;
故ω的最大值为9.
故答案为:9.
先跟据正弦函数的零点以及它的图象的对称性,判断ω为奇数,由f(x)在( )单调,分f(x)在( )单调递增、单调递减两种情况,分别求得ω的最大值,综合可得它的最大值.

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