题目内容
【题目】已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤ ),x=﹣ 为f(x)的零点,x= 为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在( , )单调,则ω的最大值为 .
【答案】9
【解析】解:∵函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤ ),x=﹣ 为f(x)的零点,x= 为y=f(x)图象的对称轴, ∴ω(﹣ )+φ=nπ,n∈Z,且ω S+φ=n′π+ ,n′∈Z,
∴相减可得ω =(n′﹣n)π+ =kπ+ ,k∈Z,即ω=2k+1,即ω为奇数.
∵f(x)在( , )单调,
(i)若f(x)在( , )单调递增,
则ω +φ≥2kπ﹣ ,且ω +φ≤2kπ+ ,k∈Z,
即﹣ω ﹣φ≤﹣2kπ+ ①,且ω +φ≤2kπ+ ,k∈Z ②,
把①②可得 ωπ≤π,∴ω≤12,故有奇数ω的最大值为11.
当ω=11时,﹣ +φ=kπ,k∈Z,∵|φ|≤ ,∴φ=﹣ .
此时f(x)=sin(11x﹣ )在( , )上不单调,不满足题意.
当ω=9时,﹣ +φ=kπ,k∈Z,∵|φ|≤ ,∴φ= ,
此时f(x)=sin(9x+ )在( , )上单调递减,不满足题意;
故此时ω无解.
(ii)若f(x)在( , )单调递减,
则ω +φ≥2kπ+ ,且ω +φ≤2kπ+ ,k∈Z,
即﹣ω ﹣φ≤﹣2kπ﹣ ③,且ω +φ≤2kπ+ ,k∈Z ④,
把③④可得 ωπ≤π,∴ω≤12,故有奇数ω的最大值为11.
当ω=11时,﹣ +φ=kπ,k∈Z,∵|φ|≤ ,∴φ=﹣ .
此时f(x)=sin(11x﹣ )在( , )上不单调,不满足题意.
当ω=9时,﹣ +φ=kπ,k∈Z,∵|φ|≤ ,∴φ= ,
此时f(x)=sin(9x+ )在( , )上单调递减,满足题意;
故ω的最大值为9.
故答案为:9.
先跟据正弦函数的零点以及它的图象的对称性,判断ω为奇数,由f(x)在( , )单调,分f(x)在( , )单调递增、单调递减两种情况,分别求得ω的最大值,综合可得它的最大值.
【题目】某高中为了推进新课程改革,满足不同层次学生的需求,决定从高一年级开始,在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座,每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座,也可以放弃任何一门科目的辅导讲座.(规定:各科达到预先设定的人数时称为满座,否则称为不满座)统计数据表明,各学科讲座各天的满座的概率如下表:
信息技术 | 生物 | 化学 | 物理 | 数学 | |
周一 | |||||
周三 | |||||
周五 |
根据上表:
(1)求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率;
(2)设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望.