题目内容

【题目】已知函数f(x)=xlnx,x∈(0,+∞),其导函数为f′(x),现有如下命题:
①对x1∈(0,+∞),x2∈(0,+∞),使得x2f(x1)>x1f(x2);
②对x1∈(0,+∞),对x2∈(0,+∞)且x1≠x2 , 使得f(x1)﹣f(x2)<x2﹣x1
③当a>3时,对x∈(0,+∞),不等式f(a+x)<f(a)ex恒成立;
④当a>3时,对x∈(3,+∞),且x≠a时,不等式f(x)>f(a)+f′(a)(x﹣a)恒成立;其中真命题的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4

【答案】C
【解析】解:函数的定义域为(0,+∞),∵f′(x)=lnx+1,令lnx+1<0得0<x<
∴函数f(x)=xlnx的单调递减区间是( 0, ),单调增区间为( ,+∞).
其大致图象如下:

对于①,x2f(x1)>x1f(x2)可变为
原命题等价于,在函数f(x)图象上任一点A(x1 , f(xx1)),都存在点B(x2 , f(x2)),使得直线OA的斜率大于OB的斜率,结合图象可判定①正确.
对于②,f(x1)﹣f(x2)<x2﹣x1可变为f(x1)+x1)<f(x2)+x2 , 原命题等价于,函数g(x)=f(x)+x,对x2∈(0,+∞),都存在x1∈(0,+∞)使g(x2)>g(x1);
∵g′(x)=f′(x)+1=lnx+2,显然函数g(x)有最小值,故不存在,故②错;
对于③,f(a+x)<f(a)ex(a+x)ln(a+x)<alna)ex ,构造函数g(x)= ,则问题就是要求g(a+x)<g(a)恒成立.
g′(x)= ,令h(x)=lnx+1﹣xlnx,则h′(x)= ﹣lnx﹣1,显然h′(x)是减函数.
当x>1时,h′(x)<h′(1)=0,从而函数h(x)在(1,+∞)上也是减函数.
从而当x>3时,h(x)<h(e)=lne+1﹣elne=2﹣e<0,即 g′(x)<0,
即函数g(x)= 在区间(3,+∞)上是减函数.
当a>3时,对于任意的非零正数x,a+x>a>3,进而有g(a+x)<g(a)恒成立,故③正确;
对于④,构造函数h(x)=f(x)f(a)﹣f′(a)(x﹣a)=xlnx﹣xlna﹣x+a,(x>3)
h′(x)=lnx﹣lna,可知h(x)在(3,a)递减,在(a,+∞)递减,h(x)≥h(a)=0,∴x≠a时,不等式f(x)>f(a)+f′(a)(x﹣a)恒成立,故④正确;
故选:C.
【考点精析】通过灵活运用命题的真假判断与应用,掌握两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系即可以解答此题.

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