题目内容
【题目】设函数G(x)=xlnx+(1﹣x)ln(1﹣x).
(1)求G(x)的最小值:
(2)记G(x)的最小值为e,已知函数f(x)=2aex+1+ ﹣2(a+1)(a>0),若对于任意的x∈(0,+∞),恒有f(x)≥0成立,求实数a的取值范围.
【答案】
(1)解:由已知得
令G'(x)<0,得 ;令G'(x)>0,得 ,
所以G(x)的单调减区间为 ,单调增区间为
从而
(2)解:由(1)中c=﹣ln2得
所以
令g(x)=ax2ex﹣(a+1),则g'(x)=ax(2+x)ex>0
所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,
因为g(0)=﹣(a+1),且当x→+∞时,g(x)>0,
所以存在x0∈(0,+∞),使g(x0)=0,
且f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增
因为 ,所以 ,
即 ,因为对于任意的x∈(0,+∞),恒有f(x)≥0成立,
所以
所以 ,即 ,
亦即 ,所以
因为 ,所以 ,
又x0>0,所以0<x0≤1,从而 ,
所以 ,故
【解析】(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的最小值即可;(2)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的最小值,结合题意从而求出a的范围即可.
【考点精析】本题主要考查了函数的最大(小)值与导数的相关知识点,需要掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数在内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值才能正确解答此题.
【题目】某高中为了推进新课程改革,满足不同层次学生的需求,决定从高一年级开始,在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座,每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座,也可以放弃任何一门科目的辅导讲座.(规定:各科达到预先设定的人数时称为满座,否则称为不满座)统计数据表明,各学科讲座各天的满座的概率如下表:
信息技术 | 生物 | 化学 | 物理 | 数学 | |
周一 | |||||
周三 | |||||
周五 |
根据上表:
(1)求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率;
(2)设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望.