题目内容

【题目】设函数G(x)=xlnx+(1﹣x)ln(1﹣x).
(1)求G(x)的最小值:
(2)记G(x)的最小值为e,已知函数f(x)=2aex+1+ ﹣2(a+1)(a>0),若对于任意的x∈(0,+∞),恒有f(x)≥0成立,求实数a的取值范围.

【答案】
(1)解:由已知得

令G'(x)<0,得 ;令G'(x)>0,得

所以G(x)的单调减区间为 ,单调增区间为

从而


(2)解:由(1)中c=﹣ln2得

所以

令g(x)=ax2ex﹣(a+1),则g'(x)=ax(2+x)ex>0

所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,

因为g(0)=﹣(a+1),且当x→+∞时,g(x)>0,

所以存在x0∈(0,+∞),使g(x0)=0,

且f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增

因为 ,所以

,因为对于任意的x∈(0,+∞),恒有f(x)≥0成立,

所以

所以 ,即

亦即 ,所以

因为 ,所以

又x0>0,所以0<x0≤1,从而

所以 ,故


【解析】(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的最小值即可;(2)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的最小值,结合题意从而求出a的范围即可.
【考点精析】本题主要考查了函数的最大(小)值与导数的相关知识点,需要掌握求函数上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值才能正确解答此题.

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