Question

12．如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=2．
（1）求证：CD⊥SA；
（2）求二面角C-SA-D的正切值．

Answer 1

分析 （1）由线面垂直的性质可得CD⊥SD，结合正方形的性质可得CD⊥AD，可判CD⊥平面SDA，可得结论；
（2）设SA的中点为E，连接DE、CE，证明∠CED是二面角C-SA-D的平面角，即可求二面角C-SA-D的正切值．

解答 （1）证明：∵SD⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥SD，
又∵四边形ABCD是正方形，∴CD⊥AD，
又SD∩AD=D，∴CD⊥平面SDA，
又∵SA?平面SDA，∴CD⊥SA；
（2）解：取SA中点E，连接DE，CE，
∵SD=AD，CS=CA，
∴DE⊥SA，CE⊥SA．
∴∠CED是二面角C-SA-D的平面角．
∵SD=AD=2，
∴DE=$\sqrt{2}$，CD=2，
∴二面角C-SA-D的正切值为$\frac{CD}{DE}$=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．