Question

9．已知函数$f（x）=\sqrt{-{x^2}+4x-3}$的定义域为M．
（1）求f（x）的定义域M；
（2）求当x∈M时，求函数g（x）=4^x-a•2^x+1（a为常数，且a∈R）的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据根式的被开方式非负，列出不等式求出解集即可；
（2）由x∈M时，求出2^x的取值范围，由此讨论a的取值，从而求出g（x）的最小值即可．

解答 解：（1）∵函数$f（x）=\sqrt{-{x^2}+4x-3}$，
∴-x²+4x-3≥0，
即（x-1）（x-3）≤0，
解得1≤x≤3，
∴f（x）的定义域M=[1，3]；
（2）当x∈M时，即x∈[1，3]，∴2^x∈[2，8]．
∴函数g（x）=4^x-a•2^x+1=（2^x）²-2a•2^x=（2^x-a）²-a²；
当a≤2时，g（x）在x∈[1，3]上是增函数，
∴g（x）的最小值是g（1）=4-4a；
当2＜a＜8时，g（x）在x∈[1，3]上先减后增，
∴g（x）的最小值是-a²；
当a≥8时，g（x）在x∈[1，3]上是减函数，
∴g（x）的最小值是g（3）=64-16a；
则有${g_{min}}（x）=\left\{{\begin{array}{l}{4-4a（a≤2）}\\{-{a^2}（2＜a＜8）}\\{64-16a（a≥8）}\end{array}}\right.$

点评 本题考查了求函数的定义域和最小值的求法，也考查了分类讨论思想的应用，是综合性题目．