Question

若函数f（x）=ax³+bx²+cx+d是奇函数，且f(x)极小值=f(-

3

3

)=-

2 3

9

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在[-1，m]（m＞-1）上的最大值；
（3）设函数g(x)=

f(x)

x2

，若不等式g(x)•g(kx)≥k2-

1

k

(k＞0)恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）∵函数f（x）=ax³+bx²+cx+d是奇函数，
∴

f(0)=0 f(-1)=-f(1)

解得，b=d=0，
∴f（x）=ax³+cx，f'（x）=3ax²+c，
∵f(x)极小值=f(-

3

3

)=-

2 3

9

，
∴f′(-

3

3

)=0．
∴

a-c=0 - 3 9 a- 3 3 c=- 2 3 9

解得，

a=-1 c=1

．
故f（x）=-x³+x
（2）∵f'（x）=-3x²+1=-3（x+

3

3

）（x-

3

3

）
∴f（x）在（-∞，-

3

3

），（

3

3

，+∞）上是减函数，在[-

3

3

，

3

3

]上是增函数
由f（x）=0解得x=±1，x=0，
如图所示，当-1＜m≤0时，
f（x）_max=f（-1）=0；
当0＜m＜

3

3

时，f（x）_max=f（m）=-m³+m
当m≥

3

3

时，f（x）_max=f(

3

3

)=

2 3

9

．
故f（x）_max=

0，-1＜m≤0 -m2+m，0＜m＜ 3 3 2 3 9 ，m≥ 3 3

（3）∵g(x)=

1

x

-x，
∴函数F（x）=g（x）•g（kx）
=（

1

x

-x）（

1

kx

-kx）
=

1

kx2

+kx2-k-

1

k

，
∵k＞0，
∴

1

kx2

+kx2≥2，
∴F(x)min=2-k-

1

k

∴F(x)≥k2-

1

k

恒成立，
只须F(x)min=2-k-

1

k

≥k2-

1

k

∴-2≤k≤1，
又∵k＞0
∴0＜k≤1．