Question

已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知动直线y＝k(x＋1)与椭圆C相交于A，B两点．
①若线段AB中点的横坐标为－，求斜率k的值；
②已知点M(－，0)，求证：·为定值．

Answer 1

（1）＋＝1
（2）①±       ②见解析

(1)＋＝1(a>b>0)满足a²＝b²＋c²，又＝，×b×2c＝，
解得a²＝5，b²＝，则椭圆方程为＋＝1．
(2)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．
①将y＝k(x＋1)代入＋＝1，
得(1＋3k²)x²＋6k²x＋3k²－5＝0，
∴Δ＝48k²＋20>0，x₁＋x₂＝－，
∵AB中点的横坐标为－，
∴－＝－1，解得k＝±．
②由(1)知x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝，
∴·＝(x₁＋，y₁)·(x₂＋，y₂)
＝(x₁＋)(x₂＋)＋y₁y₂
＝(x₁＋)(x₂＋)＋k²(x₁＋1)(x₂＋1)
＝(1＋k²)x₁x₂＋(＋k²)(x₁＋x₂)＋＋k²
＝(1＋k²)＋(＋k²)(－)＋＋k²
＝＋＋k²＝ (定值)．