题目内容

在平面直角坐标系中,设△ABC的顶点分别为A(0,2),B(-1,0),C(2,0),圆M是△ABC的外接圆,直线l的方程是(2+m)x+(2m-1)y-3m-1=0(m∈R)
(1)求圆M的方程;
(2)证明:直线l与圆M相交;
(3)若直线l被圆M截得的弦长为3,求l的方程.
(1)∵△ABC的顶点分别为A(0,2),B(-1,0),C(2,0),故线段BC的垂直平分线方程为x=
1
2

线段AC的垂直平分线为 y=x,再由圆心M在这2条边的垂直平分线上,可得M(
1
2
1
2
),
故圆的半径为|MC|=
(2-
1
2
)
2
+(0-
1
2
)
2
=
10
2
,故圆的方程为 (x-
1
2
)
2
+(y-
1
2
)
2
=
5
2

(2)根据直线l的方程是(2+m)x+(2m-1)y-3m-1=0(m∈R),即m(x+2y-3)+2x-y-1=0,
x+2y-3=0
2x-y-1=0
可得
x=1
y=1
,故直线经过定点N(1,1).
由于MN=
1
4
+
1
4
=
2
2
<r=
3
2
,故点N在圆的内部,故圆和直线相交.
(3)∵直线l被圆M截得的弦长为3,等于直径,故直线l经过圆心M,把点M的坐标代入直线l,
可得 (2+m)×
1
2
+(2m-1)
1
2
-3m-1=0,解得 m=-
1
3

故直线l的方程为
5
3
x-
5
3
y=0,即 x-y=0.
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