题目内容
【题目】在如图所示的三棱锥中,
是边长为2的等边三角形,
,
是
的中位线,
为线段
的中点.
(1)证明:.
(2)若二面角为直二面角,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
(1)如图,由中位线可得,取
的中点为
,取
的中点
,连接
,可证
平面
,从而可证
.
(2)建立如图所示的空间直角坐标系,计算出平面的法向量和平面
的法向量的夹角的余弦值后可得二面角
的余弦值.
(1)如图,取的中点为
,取
的中点
,连接
.
因为是边长为2的等边三角形,
,所以
.
因为,故
,故
.
因为,所以
且
,所以
.
因为,故
,所以
.
因为,
平面
,
平面
,故
平面
,
因为平面
,
.
因为,故
,所以
.
(2)由(1)可得,
所以为二面角
的平面角,
因为二面角为直二面角,所以
即
.
建立如图所示的空间直角坐标系,
则.
故,
,
.
设平面的法向量为
,
则即
,故
,取
,则
,
所以.
设平面的法向量为
,
则即
,取
,则
,
故,
所以,
因为二面角的平面角为锐角,
故二面角的余弦值为
.
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