Question

【题目】设抛物线C：y2=4x焦点为F，直线l与C交于A，B两点．

（1）若l过F且斜率为1，求|AB|；

（2）若不过坐标原点O，且OA⊥OB，证明：直线l过定点．

Answer 1

【答案】（1）8（2）见证明

【解析】

（1）由题意写出直线的方程，与抛物线方程联立消去y，得关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系和抛物线的定义求出|AB|的值；

（2）可设直线的方程为x=my+a，A（x1，y1），B（x2，y2），由得关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的坐标运算法则求出a的值，再判断直线l恒过定点．

（1）由题意，抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），直线l过点F且斜率为1，

则的方程为y=x-1，设A（x1，y1），B（x2，y2），

由，消去y，得x2-6x+1=0，

又△=（-6）2-4×1×1=32＞0，且x1+x2=6，

∴|AB|=x1+x2+2=8；

（2）直线的斜率不为0时，可设直线的方程为x=my+a（a≠0），

设A（x1，y1），B（x2，y2）；

由，消去x，得y2-4my-4a=0，则y1y2=-4a；

又x1=,x2=，∴x1x2===a2，

又∵OA⊥OB，∴=x1x2+y1y2=0，即a2-4a=0，

又∵a≠0，∴a=4，

∴直线l：x=my+4恒过定点M（4，0）．