题目内容
3.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=1-an(n∈N*).(Ⅰ)试求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设cn=$\frac{1}{{1+{a_n}}}+\frac{1}{{1-{a_{n+1}}}}$,求证:数列{cn}的前n项和Pn>2n-$\frac{1}{5}$.
分析 (I)利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出;
(II)由已知得:当n=1时,${P_1}=2>2-\frac{1}{5}$,结论成立,当n≥2时,${P_n}=({\frac{1}{{1+{a_1}}}+\frac{1}{{1-{a_2}}}})+({\frac{1}{{1+{a_2}}}+\frac{1}{{1-{a_3}}}})+…+({\frac{1}{{1+{a_n}}}+\frac{1}{{1-{a_{n+1}}}}})$,化简利用“放缩法”即可证明.
解答 (Ⅰ)解:∵Sn=1-an(n∈N*),∴Sn+1=1-an+1,作差得:${a_{n+1}}=\frac{1}{2}{a_n}({n∈N*})$,
又当n=1时,${a_1}=\frac{1}{2}$,故${a_n}=\frac{1}{2^n}({n∈N*})$.
(Ⅱ)证明:由已知得:当n=1时,${P_1}=2>2-\frac{1}{5}$,结论成立,
当n≥2时,${P_n}=({\frac{1}{{1+{a_1}}}+\frac{1}{{1-{a_2}}}})+({\frac{1}{{1+{a_2}}}+\frac{1}{{1-{a_3}}}})+…+({\frac{1}{{1+{a_n}}}+\frac{1}{{1-{a_{n+1}}}}})$
=$\frac{1}{{1+{a_1}}}+({\frac{1}{{1-{a_2}}}+\frac{1}{{1+{a_2}}}})+…+({\frac{1}{{1-{a_n}}}+\frac{1}{{1+{a_n}}}})+\frac{1}{{1-{a_{n+1}}}}=\frac{2}{3}+2\sum_{i=2}^n{({\frac{1}{{1-{a_i}^2}}})}+\frac{1}{{1-\frac{1}{{{2^{n+1}}}}}}$
=$\frac{2}{3}+2\sum_{i=2}^n{({\frac{4^i}{{{4^i}-1}}})}+\frac{{{2^{n+1}}}}{{{2^{n+1}}-1}}=\frac{2}{3}+2\sum_{i=2}^n{({1+\frac{1}{{{4^i}-1}}})}+({1+\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}})$
$≥\frac{2}{3}+2({n-1})+\frac{2}{{{4^2}-1}}+({1+\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}})>\frac{2}{3}+2({n-1})+\frac{2}{{{4^2}-1}}+1=2n-\frac{1}{5}$,结论也成立,
综上知,对?n∈N*,${P_n}>2n-\frac{1}{5}$都成立.
点评 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式、“分组求和”、“放缩法”不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
评分等级 | [0,1] | (1,2] | (2,3] | (3,4] | (4,5] |
女(人数) | 2 | 7 | 9 | 20 | 12 |
男(人数) | 3 | 9 | 18 | 12 | 8 |
(2)规定:评分等级在[0,3]内为不满意该商品,在(3,5]内为满意该商品.完成下列2×2列联表并帮助卖家判断:能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为满意该商品与性别有关系?
满意该商品 | 不满意该商品 | 总计 | |
女 | |||
男 | |||
总计 |
P(K2≥k) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
A. | 8 | B. | -8 | C. | ±8 | D. | 以上都不对 |
A. | 5 | B. | 6 | C. | 7 | D. | 8 |
月收入(元) | [1000,2000) | [2000,3000) | [3000,4000) | [4000,5000) | [5000,6000) | [6000,7000) |
频数 | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
反对人数 | 4 | 8 | 12 | 5 | 2 | 1 |
月收入不低于5000元的人数 | 月收入低于5000元的人数 | 总计 | |
反对 | |||
赞成 | |||
总计 |
P(k2≥k0) | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 |
k0 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
(Ⅰ)试根据以上数据完成以下2×2列联表,并运用独立性检验思想,指出有多大把握认为中学生的作文水平与爱看课外书有关系?
高中学生的作文水平与爱看课外书的2×2列联表
爱看课外书 | 不爱看课外书 | 总计 | |
作文水平好 | |||
作文水平一般 | |||
总计 |
参考公式:K2=$\frac{{n{{(ad-bc)}^2}}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$,其中n=a+b+c+d.
参考数据:
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |