Question

10．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F（-c，0），离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x²+y²=$\frac{b^2}{4}$截得的线段的长为c，|FM|=$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．
（Ⅰ）求直线FM的斜率；
（Ⅱ）求椭圆的方程；
（Ⅲ）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于$\sqrt{2}$，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，计算可得a²=3c²、b²=2c²，设直线FM的方程为y=k（x+c），利用勾股定理及弦心距公式，计算可得结论；
（Ⅱ）通过联立椭圆与直线FM的方程，可得M（c，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$c），利用|FM|=$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$计算即可；
（Ⅲ）设动点P的坐标为（x，y），分别联立直线FP、直线OP与椭圆方程，分x∈（-$\frac{3}{2}$，-1）与x∈（-1，0）两种情况讨论即可得到结论．

解答 解：（Ⅰ）∵离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{3}$，
∴2a²=3b²，∴a²=3c²，b²=2c²，
设直线FM的斜率为k（k＞0），则直线FM的方程为y=k（x+c），
∵直线FM被圆x²+y²=$\frac{b^2}{4}$截得的线段的长为c，
∴圆心（0，0）到直线FM的距离d=$\frac{|kc|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴d²+$（\frac{c}{2}）^{2}$=$（\frac{b}{2}）^{2}$，即（$\frac{|kc|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$）²+$（\frac{c}{2}）^{2}$=$（\frac{b}{2}）^{2}$，
解得k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即直线FM的斜率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（Ⅱ）由（I）得椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{3{c}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{2{c}^{2}}$=1，直线FM的方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+c），
联立两个方程，消去y，整理得3x²+2cx-5c²=0，解得x=-$\frac{5}{3}$c，或x=c，
∵点M在第一象限，∴M（c，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$c），
∵|FM|=$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，∴$\sqrt{（c+c）^{2}+（\frac{2\sqrt{3}}{3}c-0）^{2}}$=$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，
解得c=1，∴a²=3c²=3，b²=2c²=2，
即椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（Ⅲ）设动点P的坐标为（x，y），直线FP的斜率为t，
∵F（-1，0），∴t=$\frac{y-0}{x+1}$，即y=t（x+1）（x≠-1），
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=t（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消去y并整理，得2x²+3t²（x+1）²=6，
又∵直线FP的斜率大于$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{\frac{6-2{x}^{2}}{3（x+1）^{2}}}$＞$\sqrt{2}$，6-2x²＞6（x+1）²，
整理得：x（2x+3）＜0且x≠-1，
解得-$\frac{3}{2}$＜x＜-1，或-1＜x＜0，
设直线OP的斜率为m，得m=$\frac{y}{x}$，即y=mx（x≠0），
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=mx}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消去y并整理，得m²=$\frac{2}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{3}$．
①当x∈（-$\frac{3}{2}$，-1）时，有y=t（x+1）＜0，因此m＞0，
∴m=$\sqrt{\frac{2}{{x}^{2}}-\frac{2}{3}}$，∴m∈（$\frac{\sqrt{2}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）；
②当x∈（-1，0）时，有y=t（x+1）＞0，因此m＜0，
∴m=-$\sqrt{\frac{2}{{x}^{2}}-\frac{2}{3}}$，∴m∈（-∞，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）；
综上所述，直线OP的斜率的取值范围是：（-∞，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）∪（$\frac{\sqrt{2}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．

点评 本题考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的位置关系、一元二次不等式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力、以及用函数与方程思想解决问题的能力，属于中档题．