Question

8．α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），且sinβ=sinα•cos（α+β），α+β≠$\frac{π}{2}$，当tanβ取最大值时，求tan（α+β）的值．

Answer 1

分析 首先对三角函数关系式进行恒等变换，整理成tanβ=$\frac{1}{2tanα+\frac{1}{tanα}}$，再利用基本不等式求得它的最大值，从而求得此时tan（α+β）的值．

解答 解：sinβ=sinαcos（α+β），即 sinβ=sinα（cosαcosβ-sinαsinβ）=sinαcosαcosβ-sinαsinαsinβ，
等式两边都除以cosβ得到：tanβ=sinαcosα-sin²αtanβ，
整理得：tanβ=$\frac{sinαcosα}{{1+sin}^{2}α}$=$\frac{tanα}{{2tan}^{2}α+1}$，由于α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），α+β≠$\frac{π}{2}$，
所以：tanβ=$\frac{1}{2tanα+\frac{1}{tanα}}$≤$\frac{1}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，当且仅当 tanα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，取等号，故tanβ的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$．
此时，tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}•\frac{\sqrt{2}}{4}}$=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，基本不等式的应用，属于中档题．