题目内容

(本小题满分12分)
已知:函数y=f (x)的定义域为R,且对于任意的a,b∈R,都有f (a+b)=f (a)+f (b),且当x>0时,f (x)<0恒成立.
证明:(1)函数y=f (x)是R上的减函数.
(2)函数y=f (x)是奇函数.
 (1)见解析;(2)见解析。

试题分析:(1)设x1>x2,则x1-x2>0,而f (a+b)=f (a)+f (b),
所以f (x1)=f (x1-x2+x2)=f (x1-x2)+f (x2)<f (x2),
即f (x1)<f (x2),所以函数在R上是减函数.                   ……6分
(2)由f (a+b)=f (a)+f (b)得:f (x-x)=f (x)+f (-x),即f (x)+f (-x)=f (0),而f (0)=0,
所以f (-x)=-f (x),即函数f (x)是奇函数.                    ……12分
点评:本题以抽象函数的单调性证明为载体考查了函数的奇偶性的定义,其中利用“凑配法”得到f(0)=0及f(-x)=-f(x)是解答的关键.
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