Question

1．设x，y∈R，定义x?y=x（a-y）（a∈R，且a为常数），若f（x）=e^x，g（x）=e^-x+2x²，F（x）=f（x）?g（x）．
①g（x）不存在极值；
②若f（x）的反函数为h（x），且函数y=kx与函数y=|h（x）|有两个交点，则k=$\frac{1}{e}$；
③若F（x）在R上是减函数，则实数a的取值范围是（-∞，-2]；
④若a=-3，在F（x）的曲线上存在两点，使得过这两点的切线互相垂直．
其中真命题的序号有②③．（把所有真命题序号写上）

Answer 1

分析 由已知中x?y=x（a-y）（a∈R，且a为常数），若f（x）=e^x，g（x）=e^-x+2x²，F（x）=f（x）?g（x）求出函数的解析式，利用导数法，分析四个结论的真假，可得答案．

解答 解：∵x?y=x（a-y），f（x）=e^x，g（x）=e^-x+2x²，
∴F（x）=f（x）?g（x）=e^x（a-e^-x-2x²），
则F′（x）=-e^x（2x²+4x-a），
当2x²+4x-a=0的△＞0时，g（x）即有极大值，又有极小值，故①错误；
∵f（x）的反函数为h（x），
∴h（x）=lnx，若函数y=kx与函数y=|h（x）|有两个交点，
则y=kx与函数y=lnx，（x＞1）相切，
此时切点为（e，1），切线斜率为$\frac{1}{e}$；
故②正确；
若F（x）在减函数，则F′（x）≤0对于x∈R恒成立，
即-e^x（2x²+4x-a）≤0恒成立，
∵-e^x＜0，
∴2x²+4x-a≥0恒成立，
∴△=16-8（-a）≤0，
∴a≤-2；
即实数a的取值范围是（-∞，-2]，故③正确；
④当a=-3时，F（x）=-3e^x-1-2x²e^x，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）是F（x）曲线上的任意两点，
∵F′（x）=-e^x（2x²+4x+3）
=-e^x[2（x+1）²+1]＜0，
∴F′（x₁）•F′（x₂）＞0，
∴F′（x₁）•F′（x₂）=-1 不成立．
∴F（x）的曲线上不存的两点，使得过这两点的切线点互相垂直．
故④错误；
故真命题的序号为：②③，
故答案为：②③

点评 本题以命题的真假判断为载体，考查了函数的极值，零点，单调性等知识点，难度中档．