Question

（2011•临沂二模）设△ABC是锐角三角形，a、b、c分别是内角A、B、C的对边长，向量m=（2sin（A+C），-

3

），n=（cos2B，2cos²

B

2

-1），且向量m，n共线．
（I）求角B的大小；
（II）若

BA

•

BC

=12，B=2

7

，求a，c（其中a＜c）

Answer 1

分析：（I）根据平面向量平行时满足的坐标特点，列出三角函数关系式，利用诱导公式及二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切，得到tan2B的值，由三角形为锐角三角形得到B的范围，进而求出2B的范围，，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（II）根据平面向量数量积的运算法则计算

BA

•

BC

=12的左边得到一个等式，记作①，把B的度数代入求出ac的值，记作②，然后利用余弦定理表示出b²，把b，ac及cosB的值代入求出a²+c²的值，利用完全平方公式表示出（a+c）²，把相应的值代入，开方求出a+c的值，由②③可知a与c为一个一元二次方程的两个解，求出方程的解，根据c大于a，可得出a与c的值．

解答：解：（I）∵

m

∥

n

，
∴2sin（A+C）（2cos²

B

2

-1）+

3

cos2B=0，
又∵A+C=π-B，
∴2sinBcosB+

3

cos2B=0，
∴sin2B+

3

cos2B=0
∴tan2B=-

3

，
又锐角△ABC中0＜B＜

π

2

，0＜2B＜π，
∴2B=

2π

3

，∴B=

π

3

；
（II）由

BA

•

BC

=12得：accosB=12，①
又由（I）知B=

π

3

，∴ac=24，②
由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，将b=2

7

及①代入得：a²+c²=52，
∴（a+c）²=a²+c²+2ac═52+2×24=100，
∴a+c=10，③
由②③知a、c是一元二次方程t²-10t+24=0的两个根，
解此方程，并由c＞a得：a=4，c=6．

点评：此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．同时注意完全平方公式的灵活运用．