题目内容
(2011•临沂二模)如图,过圆x2+y2=4与x轴的两个交点A、B作圆的切线AC、BD,再过圆上任意一点H作圆的切线,交AC、BD与C、D两点,设AD、BC的交点为R.
(I)求动点R的轨迹E的方程;
(II)设E的上顶点为M,直线l交曲线E于P、Q两点,问:是否存在这样的直线l,使点G(1,0)恰为△PQM的垂心?若存在,求出直线l的方程,若不存在,说明理由.
(I)求动点R的轨迹E的方程;
(II)设E的上顶点为M,直线l交曲线E于P、Q两点,问:是否存在这样的直线l,使点G(1,0)恰为△PQM的垂心?若存在,求出直线l的方程,若不存在,说明理由.
分析:(I)因为动点R为动直线直线AD、BC的交点,所以可用消参法求R的轨迹方程.先设点H(x0,y0),求出A,B,C,D四点坐标,则可得到含参数x0,y0的直线AD,BC方程,再消去参数,即可得到求动点R的轨迹E的方程.
(II)假设存在直线l交曲线E于P、Q两点,使点G(1,0)恰为△PQM的垂心.则MG为△PQM在边PQ上的高线所在直线,MG⊥PQ,又因为kMG=-1,所以kPQ=1,这样,就可设出直线MQ的方程为y=x+m,与曲线E的方程联立,消y,得到关于x的一元二次方程,求两根之和,两根之积.又因为点G(1,0)恰为△PQM的垂心,所以MP⊥GQ,∴
•
=0,得到含x1,x2的方程,根据前面所求的x1+x2,x1x2,就可求m的值,如能求出,则m存在,否则,m不存在
(II)假设存在直线l交曲线E于P、Q两点,使点G(1,0)恰为△PQM的垂心.则MG为△PQM在边PQ上的高线所在直线,MG⊥PQ,又因为kMG=-1,所以kPQ=1,这样,就可设出直线MQ的方程为y=x+m,与曲线E的方程联立,消y,得到关于x的一元二次方程,求两根之和,两根之积.又因为点G(1,0)恰为△PQM的垂心,所以MP⊥GQ,∴
MP |
EQ |
解答:解:(I)则x02+y02=4,
由题意可知,y0≠0,且以H为切点的圆的切线斜率为:-
故切线方程为:y-y0=-
(x-x0),
展开得,x0x+y0y=x02+y02即以H为切点的圆的方程为x0x+y0y=4
∵A(-2,0),B(2,0)将x=±2代入上述方程可得点C,D坐标分别为C(-2,
)D(2,
)
则lAD:
=
,lBC:
=
两式相乘,可消x0,y0,
化简得动点R的轨迹E的方程为
+y2=1
(II)假设存在直线l交曲线E于P、Q两点,使点G(1,0)恰为△PQM的垂心.
设P(x1,y1),Q(x1,y2)∵M(0,1),G(1,0),MG⊥PQ,∴kPQ=1
设直线l为y=x+m,与曲线E的方程联立,消y,得5x2+8mx+4m2-4=0
由△=(8m)2-4×5(4m2-4)>0得-
<m<
x1+x2=
m,x1x2=
(m2-1)
又∵MP⊥GQ,∴
•
=0
∴x1(x2-1)+y1(y2-1)=0
又y1=x1+m,y2=x2+m
∴x1(x2-1)+(x2+m)(x1+m-1)=,0即2x1x2+(x1+x2)(m-1)+m2-m=0
∴
(m2-1)-
m(m-1)+m2-m=0即5m2-3m-8=0
解得m=1或m=-
检验:当m=1时,l过M点,构不成三角形,舍去.当m=-
时,符合条件
故直线l的方程为y=x-
由题意可知,y0≠0,且以H为切点的圆的切线斜率为:-
x0 |
y0 |
故切线方程为:y-y0=-
x0 |
y0 |
展开得,x0x+y0y=x02+y02即以H为切点的圆的方程为x0x+y0y=4
∵A(-2,0),B(2,0)将x=±2代入上述方程可得点C,D坐标分别为C(-2,
4+2x0 |
y0 |
4-2x0 |
y0 |
则lAD:
y | ||
|
x+2 |
4 |
y | ||
|
x-2 |
-4 |
化简得动点R的轨迹E的方程为
x2 |
4 |
(II)假设存在直线l交曲线E于P、Q两点,使点G(1,0)恰为△PQM的垂心.
设P(x1,y1),Q(x1,y2)∵M(0,1),G(1,0),MG⊥PQ,∴kPQ=1
设直线l为y=x+m,与曲线E的方程联立,消y,得5x2+8mx+4m2-4=0
由△=(8m)2-4×5(4m2-4)>0得-
5 |
5 |
x1+x2=
8 |
5 |
4 |
5 |
又∵MP⊥GQ,∴
MP |
EQ |
∴x1(x2-1)+y1(y2-1)=0
又y1=x1+m,y2=x2+m
∴x1(x2-1)+(x2+m)(x1+m-1)=,0即2x1x2+(x1+x2)(m-1)+m2-m=0
∴
8 |
5 |
8 |
5 |
解得m=1或m=-
8 |
5 |
检验:当m=1时,l过M点,构不成三角形,舍去.当m=-
8 |
5 |
故直线l的方程为y=x-
8 |
5 |
点评:本题考查了消参法求动点轨迹方程,以及直线与椭圆位置关系的判断,计算量较大,应认真计算.
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