Question

2．求下列函数的最值
（1）f（x）=ln（1+x）-$\frac{1}{4}$x²，x∈[0，2]；
（2）f（x）=x³-3x²+6x-2，x∈[-1，1]．

Answer 1

分析 （1）求导f′（x）=$\frac{1}{1+x}$-$\frac{1}{2}$x=-$\frac{（x+2）（x-1）}{2（1+x）}$；从而确定函数的单调性及最值；
（2）求导f′（x）=3x²-6x+6=3（x-1）²+3＞0；从而可确定f（x）=x³-3x²+6x-2在[-1，1]上是增函数，从而求最值．

解答 解：（1）∵f（x）=ln（1+x）-$\frac{1}{4}$x²，
∴f′（x）=$\frac{1}{1+x}$-$\frac{1}{2}$x=-$\frac{（x+2）（x-1）}{2（1+x）}$；
故f（x）=ln（1+x）-$\frac{1}{4}$x²在[0，1）上是增函数，在[1，2]上是减函数；
而f（0）=0，f（1）=ln2-$\frac{1}{4}$，f（2）=ln3-1＞0；
故f（x）=ln（1+x）-$\frac{1}{4}$x²，x∈[0，2]的最大值为ln2-$\frac{1}{4}$，最小值为0；
（2）∵f（x）=x³-3x²+6x-2，
∴f′（x）=3x²-6x+6=3（x-1）²+3＞0；
故f（x）=x³-3x²+6x-2在[-1，1]上是增函数，
故f_max（x）=f（1）=1-3+6-2=2，f_min（x）=f（-1）=-1-3-6-2=-12．

点评 本题考查了导数的综合应用及函数的最值的求法，属于中档题．