题目内容

设P（x0，y0）是抛物线y2=2px（p＞0）上异于顶点的定点，A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上的两个动点，且直线PA与PB的倾斜角互补
（1）求
y1+y2
y0
的值
（2）证明直线AB的斜率是非零常数．
（I）设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为k PB
由y12=2px1，y02=2px0
相减得（y1-y0）（y1+y0）=2p（x1-x0）
故 kPA=
y1-y0
x1-x0
=
2p
y1+y0
(x1≠x0)
同理可得 kPB=
2p
y2+y0
(x2≠x0)
由PA，PB倾斜角互补知kPA=-kPB
即
2p
y1+y0
=-
2p
y2+y0

所以y1+y2=-2y0
故
y1+y2
y0
=-2
（II）设直线AB的斜率为kAB
由y22=2px2，y12=2px1
相减得（y2-y1）（y2+y1）=2p（x2-x1）
所以 kAB=
y2-y1
x2-x1
=
2p
y1+y2
(x1≠x2)
将y1+y2=-2y0（y0＞0）代入得kAB=
2p
y1+y2
=-
p
y0
，所以kAB是非零常数．
练习册系列答案
相关题目
设双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为2，其一个顶点的坐标是(
1
3
，0)；又直线l：y=kx+1与双曲线C相交于不同的A、B两点．
（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；
（Ⅱ）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆过坐标的原点？若存在，求出k的值；若不存在，写出理由．
（文）已知椭圆
x2
36
+
y2
9
=1的一条弦的中点为P（4，2），求此弦所在直线l的方程．
设F1、F2为椭圆
x2
9
+
y2
4
=1的两个焦点，P为椭圆上一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|，则
|PF1|
|PF2|
的值为______．
已知点A（1，0），定直线l：x=-1，B为l上的一个动点，过B作直线m⊥l，连接AB，作线段AB的垂直平分线n，交直线m于点M．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）过点N（4，0）作直线h与点M的轨迹C相交于不同的两点P，Q，求证OP⊥OQ（O为坐标原点）．
如图，已知直线l：y=2x-4交抛物线y2=4x于A、B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△ABP的面积最大，并求这个最大面积．
若直线mx+ny=4和⊙O：x2+y2=4相交，则点P（m，n）与椭圆C：
x2
4
+
y2
3
=1的位置关系为（　　）
A．点P在椭圆C内B．点P在椭圆C上
C．点P在椭圆C外D．以上三种均有可能
已知线段AB的端点B的坐标是（1，2），端点A在圆（x+1）2+y2=4上运动，点M是AB的中点．
（1）若点M的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；
（2）设直线l：x+y+3=0，求曲线C上的点到直线l距离的最大值和最小值．
已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点F（1，0），C1的中心和C2的顶点都在坐标原点，过点M（4，0）的直线l与抛物线C2分别相交于A，B两点．
（Ⅰ）写出抛物线C2的标准方程；
（Ⅱ）若
AM
=
1
2
MB
，求直线l的方程；
（Ⅲ）若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C2上，直线l与椭圆C1有公共点，求椭圆C1的长轴长的最小值．

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