Question

13．若x∈（0，π），且cos（$\frac{π}{4}$+x）=$\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{6}$，则$\frac{cos2x}{sinx}$=2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由已知可求sin（$\frac{π}{4}$+x）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（\frac{π}{4}+x）}$，从而可求cos2x=sin（$\frac{π}{2}+2x$）的值，又cos（$\frac{π}{4}$+x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx．sin（$\frac{π}{4}$+x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx．两式相减可得sinx的值，从而得解．

解答 解：∵x∈（0，π），cos（$\frac{π}{4}$+x）=$\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{6}$＞0，
∴$\frac{π}{4}$+x∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），
∴sin（$\frac{π}{4}$+x）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（\frac{π}{4}+x）}$=$\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{6}}{6}$，
∴cos2x=sin（$\frac{π}{2}+2x$）=sin[2（$\frac{π}{4}$+x）]=2sin（$\frac{π}{4}$+x）•cos（$\frac{π}{4}$+x）=2×$\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{6}}{6}×\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{6}$=2．
又cos（$\frac{π}{4}$+x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx…①
sin（$\frac{π}{4}$+x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx…②
②-①得：$\sqrt{2}$sinx=$\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{6}}{6}$-$\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{6}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴sinx=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{cos2x}{sinx}=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=2$\sqrt{3}$．
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数关系式，倍角公式，两角和与差的正弦函数余弦函数公式的应用，技巧性较强，属于中档题．