Question

6．下列四种说法：
①函数y=$\frac{{x}^{2}-x+4}{x-1}（x＞1）$的最小值为5；
②等差数列{a_n}中，a₁，a₃，a₄成等比数列，则公比为$\frac{1}{2}$；
③已知a＞0，b＞0，a+b=1，则$\frac{2}{a}+\frac{3}{b}$的最小值为5+2$\sqrt{6}$；
④在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A={（x，y）|x+y≤1，x≥0，y≥0}，则平面区域B={（x+y，x-y）|（x，y）∈A}的面积是1．
其中正确的命题为①③④（填上所有正确命题的序号）

Answer 1

分析 把函数解析式变形，利用基本不等式求出函数的最值判断①；
运用等差数列的通项公式和等比数列的性质，即可求得公比，进而判断②；
运用1的代换，化简整理运用基本不等式即可求得最小值，即可判断③；
首先利用换元法设出区域B内点的坐标，再根据区域A内点的约束条件求出区域B内点的约束条件，然后画出其可行域，最后由三角形面积公式求得面积判断④．

解答 解：①函数y=$\frac{{x}^{2}-x+4}{x-1}（x＞1）$=$\frac{（x-1）^{2}+（x-1）+4}{x-1}$=$（x-1）+\frac{4}{x-1}+1$$≥2\sqrt{（x-1）•\frac{4}{x-1}}+1=5$，
当且仅当x=3时上式等号成立，∴函数y=$\frac{{x}^{2}-x+4}{x-1}（x＞1）$的最小值为5，则①正确；
②等差数列{a_n}中，a₁，a₃，a₄成等比数列，则有a₃²=a₁a₄，即有（a₁+2d）²=a₁（a₁+3d），
解得a₁=-4d或d=0，则公比为$\frac{{a}_{3}}{{a}_{1}}$=1或$\frac{1}{2}$，则②错误；
等差数列{a_n}中，a₁，a₃，a₄成等比数列，则公比为$\frac{1}{2}$；
③由于a＞0，b＞0，a+b=1，则$\frac{2}{a}+\frac{3}{b}$=（a+b）（$\frac{2}{a}+\frac{3}{b}$）=5+$\frac{2b}{a}+\frac{3a}{b}$≥5+2$\sqrt{\frac{2b}{a}•\frac{3a}{b}}$=5+2$\sqrt{6}$，
当且仅当$\sqrt{2}$b=$\sqrt{3}$a时取得最小值，且为5+2$\sqrt{6}$，则③正确；
④设$\left\{\begin{array}{l}{x′=x+y}\\{y′=x-y}\end{array}\right.$，则$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{x′+y′}{2}}\\{y=\frac{x′-y′}{2}}\end{array}\right.$，又x+y≤1，且x≥0，y≥0，
解得x′≤1，x′+y′≥0，x′-y′≥0，即x≤1，x+y≥0，x-y≥0．
画出可行域，如图所示
解得A（1，1）、B（1，-1），
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$×2×1=1，即平面区域B的面积为1，则④正确．
故答案为：①③④．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查基本不等式的运用：求最值，考查等差数列和等比数列的通项和性质，考查运算能力，属于中档题，也是易错题．