Question

7．已知函数f（x）=msin2x+cos2x的图象过点（$\frac{π}{12}，\sqrt{3}$）．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位得到y=g（x）的图象，求y=g（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据点和函数的关系，代入即可求m的值；
（Ⅱ）根据函数平移关系求出g（x）的图象，结合三角函数的单调性和最值之间的关系进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=msin2x+cos2x的图象过点（$\frac{π}{12}，\sqrt{3}$）．
∴f（$\frac{π}{12}$）=msin$\frac{π}{6}$+cos$\frac{π}{6}$=$\sqrt{3}$，
即$\frac{1}{2}$m+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
解得m=$\sqrt{3}$；
（Ⅱ）∵m=$\sqrt{3}$；
∴f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位得到y=g（x）的图象，
即g（x）=2sin[2（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∵0≤x≤$\frac{π}{2}$，
∴-$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，
即当2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{3}$时，函数g（x）取得最大值g（$\frac{π}{3}$）=2sin$\frac{π}{2}$=2，
当2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$，即x=0时，函数g（x）取得最小值g（-$\frac{π}{6}$）=2sin（-$\frac{π}{6}$）=-1，
即y=g（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值分别为2，-1．

点评 本题主要考查三角函数单调性和最值的应用，根据三角函数的辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键．