Question

19．在△ABC中，角A，B，C分别对应边a，b，c，已知a，b，c成等比数列，且sinB=$\frac{\sqrt{7}}{4}$；
（Ⅰ）若$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}=\frac{3}{2}$，求a，c的值；
（Ⅱ）求$\frac{1}{tanA}+\frac{1}{tanC}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=c•a•cosB=$\frac{3}{2}$，利用sinB=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，求出cosB=$\frac{3}{4}$，可得ac=2，由余弦定理可得b²=a²+c²-2accosB，a，b，c成等比数列，可得a+c，即可求a，c的值；
（Ⅱ）由b²=ac可得sin²B=sinAsinC，切化弦求$\frac{1}{tanA}+\frac{1}{tanC}$的值．

解答 解：（Ⅰ）由$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=c•a•cosB=$\frac{3}{2}$，
∵sinB=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∴cosB=$\frac{3}{4}$，
∴ac=2，
由余弦定理可得b²=a²+c²-2accosB，
∵a，b，c成等比数列，∴b²=ac，
∴a²+c²=5，
∴（a+c）²=9
∴a+c=3，
∴a=2，c=1或a=2，c=2；
（Ⅱ）由b²=ac可得sin²B=sinAsinC，
∴$\frac{1}{tanA}+\frac{1}{tanC}$=$\frac{cosA}{sinA}+\frac{cosC}{sinC}$=$\frac{sinCcosA+cosCsinA}{sinAsinC}$=$\frac{1}{sinB}$=$\frac{4\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查余弦定理，考查三角函数求值，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．