Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上.

（1）若，点的坐标为，求椭圆的方程；

（2）若点横坐标为，点为中点，且，求椭圆的离心率.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由题意，然后将点坐标代入方程，可求解出a，可得椭圆方程；
（2）将P点横坐标代入椭圆方程可得P的坐标，可得的中点M的坐标，再由，可得a，c的关系式，从而求解离心率．

解：（1）设椭圆焦距为，则，

所以.①

又点在椭圆：上，所以.②

联立①②解得或（舍去）.

所以椭圆的方程为；

（2）设椭圆焦距为，则，，

代入得，

不妨设点在轴上方，故点坐标为，

又点为中点，故点坐标为，

所以，，

由得，

即，化简得，

将代入得，即，

所以，解得，

因为，所以椭圆的离心率为.