题目内容

【题目】

如图,已知是以的直角三角形铁皮,米,分别是边上不与端点重合的动点,且.现将铁皮沿折起至的位置,使得平面平面,连接,如图所示.现要制作一个四棱锥的封闭容器,其中铁皮和直角梯形铁皮分别是这个封闭容器的一个侧面和底面,其他三个侧面用相同材料的铁皮无缝焊接密封而成(假设制作过程中不浪费材料,且铁皮厚度忽略不计).

1)若边的中点,求制作三个新增侧面的铁皮面积是多少平方米?

2)求这个封闭容器的最大体积.

【答案】见解析

【解析】

1)由于,且,则,即

又平面平面,且平面平面,所以平面

易得,又边的中点,

米,米,

于是得米,米,米,

的中点为,则,且米,

(平方米),(平方米),(平方米),

故制作三个新增侧面的铁皮面积是平方米.

2)依题意,设米,则米,且

,知相似,则,得米.

由(1)知,底面

则四棱锥的体积),

易知上单调递增,在上单调递减,则立方米.

故这个封闭容器的最大体积是立方米.

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