题目内容
（本小题满分12分）在四棱锥
中，
平面
，底面为矩形，
.
（Ⅰ）当
时，求证：
；
（Ⅱ）若
边上有且只有一个点
，使得
，求此时二面角
的余弦值.
中，平面，底面为矩形，.（Ⅰ）当
时，求证：；（Ⅱ）若
边上有且只有一个点，使得，求此时二面角的余弦值. (Ⅰ)见解析 ； (Ⅱ) 
。
。本试题主要是考查了空间立体几何中线线垂直和二面角的求解的综合运用。
（1）因为线线垂直的证明关键是找到线面垂直，利用线面垂直的性质定理得到线线垂直。
（2）建立合理的空间直角坐标系，表示出平面的法向量，利用法向量的夹角来表示二面角的平面角的大小。
解： (Ⅰ)当时，底面
为正方形，
又因为
,
面
…………………………2分
又
面
…………………………3分
(Ⅱ) 因为
两两垂直，分别以它们所在直线
为
轴、
轴、
轴建立坐标系，如图所示，
则
…………………4分
设
，则
要使，只要
所以
，即
………6分
由此可知时，存在点使得
当且仅当
，即
时，边上有且只有一个点，使得
由此可知
…………………………8分设面
的法向量
则
即
解得
…………………………10分
取平面
的法向量
则
的大小与二面角的大小相等所以
因此二面角的余弦值为…………………………12分
（1）因为线线垂直的证明关键是找到线面垂直，利用线面垂直的性质定理得到线线垂直。
（2）建立合理的空间直角坐标系，表示出平面的法向量，利用法向量的夹角来表示二面角的平面角的大小。
解： (Ⅰ)当
时，底面为正方形，又因为
,面…………………………2分又
面…………………………3分(Ⅱ) 因为
两两垂直，分别以它们所在直线为
轴、轴、轴建立坐标系，如图所示，则
…………………4分设
，则要使
，只要所以
，即………6分由此可知
时，存在点使得当且仅当
，即时，边上有且只有一个点，使得由此可知
…………………………8分设面的法向量则
即解得…………………………10分取平面
的法向量则
的大小与二面角的大小相等所以因此二面角
的余弦值为…………………………12分
练习册系列答案
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中, 
是
的中点,
；
，且二面角
为
,求
与面
所成角的正弦值。
的底面
是正方形，侧棱
⊥底面
，
，
是
的中点. 
//平面
； 
的平面角的余弦值；
上是否存在点
，使
？若存在，请求出
，N为AB上一点，AB=4AN， M,S分别为PB,BC的中点.
与平面
所成角的正切值；
，CM=3，求二面角
的余弦值．
，
是不同的平面，
，
是不同的直线，给出下列命题：
，则
；
，则
；
是异面直线，则
，且
，则
.
中，直线
与
所成的角的大小为
