Question

四棱锥的底面是正方形，侧棱⊥底面，，是的中点.
（Ⅰ）证明//平面；            
（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值；
（Ⅲ）在棱上是否存在点，使⊥平面？若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）见解析；（2）；（3）棱上存在点，，使得⊥平面。

解：（Ⅰ）以为坐标原点，分别以、、所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系 设PD=DC=2，则A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），
B（2，2，0）.
设 是平面BDE的一个法向量，
则由  
 
（II）由（Ⅰ）知是平面的一个法向量，
又是平面的一个法向量.
设二面角--的平面角为，由图可知 
∴ 
故二面角--的余弦值为 
（Ⅲ）∵ ∴ 
假设棱上存在点，使⊥平面，设，
则，
由
∴
即在棱上存在点，，使得⊥平面 。