题目内容
如图，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF＝AD＝2DE＝2，M为AD的中点．
(1)证明：MF⊥BD；
(2)若二面角A－BF－D的平面角的余弦值为
，求AB的长．
(1)证明：MF⊥BD；
(2)若二面角A－BF－D的平面角的余弦值为
，求AB的长．（1）见解析 （2）
(1)证明 由已知得△ADF为正三角形，所以MF⊥AD，
因为平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF＝AD，
MF?平面ADEF，所以MF⊥BD.
(2)设AB＝x，以F为原点，AF，FE所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则F(0,0,0)，A(－2,0,0)，D(－1，
，0)，B(－2,0，x)，所以
＝(1，－，0)，
＝(2,0，－x)．
因为EF⊥平面ABF，所以平面ABF的法向量可取n1＝(0,1,0)．
设n2＝(x1，y1，z1)为平面BFD的法向量，则
可取n2＝
.
因为cos〈n1，n2〉＝
＝，
得x＝，所以AB＝.
因为平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF＝AD，
MF?平面ADEF，所以MF⊥BD.
(2)设AB＝x，以F为原点，AF，FE所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则F(0,0,0)，A(－2,0,0)，D(－1，
，0)，B(－2,0，x)，所以＝(1，－，0)，＝(2,0，－x)．因为EF⊥平面ABF，所以平面ABF的法向量可取n1＝(0,1,0)．
设n2＝(x1，y1，z1)为平面BFD的法向量，则
可取n2＝
.因为cos〈n1，n2〉＝
＝，得x＝
，所以AB＝.
练习册系列答案
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中，
平面
，
，
为棱
上的动点，
.
的中点，求直线
与平面
所成角的正弦值；
的值为多少时，二面角
的大小是45
.
，将它沿平行于BC的线段PQ折起，使平面APQ⊥平面BPQC，若折叠后AB的长为d，则d的最小值是
)
，
，点
在
轴上，且
，则点