Question

如图，在三棱柱中，平面，，为棱上的动点，.
⑴当为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；
⑵当的值为多少时，二面角的大小是45.

Answer 1

（1），（2）.

试题分析：（1）此小题考查用空间向量解决线面角问题，只需找到面的法向量与线的方向向量，注意用好如下公式：，且线面角的范围为：；（2）此小题考查的是用空间向量解决面面角问题，只需找到两个面的法向量，但由于点坐标未知，可先设出，利用二面角的大小是45，求出点坐标，从而可得到的长度，则易求出其比值.
试题解析：

如图，以点为原点建立空间直角坐标系，依题意得，⑴因为为中点，则，
设是平面的一个法向量，则，得，取，则，设直线与平面的法向量的夹角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为；
⑵设，设是平面的一个法向量，则，取，则，是平面的一个法向量，，得，即，所以当时，二面角的大小是.