Question

13．某校理科实验班的100名学生期中考试的语文数学成绩都不低于100分，其中语文成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是：[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]．这100名学生语文成绩某些分数段的人数x与数学成绩相应分数段的人数y之比如下表所示：

分组区间	[100，110）	[110，120）	[120，130）	[130，140）
x：y	1：2	2：1	3：4	1：1

（Ⅰ）估计这100名学生数学成绩的中位数；
（Ⅱ）从数学成绩在[130，150]的学生中随机选取2人，该2人中数学成绩在[140，150]的人数为X，求X的数学期望EX．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据这100名学生语文成绩某些分数段的人数x与数学成绩相应分数段的人数y之比，即可估计这100名学生数学成绩的中位数；
（Ⅱ）根据题意得出X的可能取值，计算对应的概率，求出X的分布列与数学期望即可．

解答 解：（I）∵$0.05×2+0.4×\frac{1}{2}+0.3×\frac{4}{3}=0.7＞0.5$，0.7-0.5=0.2，
∴这100名学生数学成绩的中位数是$130-10×\frac{0.2}{{0.3×\frac{4}{3}}}=125$；…（6分）
（II）∵数学成绩在[100，140）之内的人数为$（2×0.05+\frac{1}{2}×0.4+\frac{4}{3}×0.3+0.2）×100=90$
∴数学成绩在[140，150]的人数为100-90=10人，
而数学成绩在[130，140）的人数为0.2×100=20人，X可取0，1，2，$P（X=0）=\frac{{C_{10}^0C_{20}^2}}{{C_{30}^2}}=\frac{38}{87}$，$P（X=1）=\frac{{C_{10}^1C_{20}^1}}{{C_{30}^2}}=\frac{40}{87}$，$P（X=2）=\frac{{C_{10}^2C_{20}^0}}{{C_{30}^2}}=\frac{3}{29}$，X分布列

X	0	1	2
P	$\frac{38}{87}$	$\frac{40}{87}$	$\frac{3}{29}$

∴$EX=0×\frac{38}{87}+1×\frac{40}{87}+2×\frac{3}{29}=\frac{2}{3}$．…（12分）

点评 本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了中位数以及离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是综合性题目．