题目内容
8．某校体育教师至少擅长篮球和足球中的一项，现已知有5人擅长篮球，2人擅长足球，从该校的体育教师中随机选出2人，设X为选出的2人中既擅长篮球也擅长足球的人数，已知P（X＞0）=$\frac{7}{10}$．（Ⅰ）求该校的体育教师的人数；
（Ⅱ）求X的分布列并计算X的数学期望与方差．
分析 （Ⅰ）设既擅长篮球也擅长足球共有x人，则该校的体育教师有（7-x）人，那么只擅长一项的人数为（7-2x）人，利用P（X＞0）=$\frac{7}{10}$，建立方程，即可求得该校的体育教师的人数；
（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，计算概率，即可求得数学期望与方差．
解答 解：（Ⅰ）设既擅长篮球也擅长足球共有x人，则该校的体育教师有（7-x）人，那么只擅长一项的人数为（7-2x）人…（2分）
∵P（X＞0）=P（X≥1）=1-P（X=0）=$\frac{7}{10}$，∴1-$\frac{{C}_{7-2x}^{2}}{{C}_{7-x}^{2}}$=$\frac{7}{10}$…（4分）
整理为：37x2-221x+294=0，∴x=2，
∴7-2=5，即体育教师有5人…（6分）
（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，
P（X=0）=$\frac{3}{10}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{5}$；P（X=2）=$\frac{1}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{1}{10}$…（10分）
∴EX=0×$\frac{3}{10}$+1×$\frac{3}{5}$+2×$\frac{1}{10}$=$\frac{4}{5}$…（12分）
DX=（0-$\frac{4}{5}$）2×$\frac{3}{10}$+（1-$\frac{4}{5}$）2×$\frac{3}{5}$+（2-$\frac{4}{5}$）2×$\frac{1}{10}$=$\frac{9}{25}$．…（12分）
点评 本题考查离散型随机变量的概率与期望，解题的关键是正确求出概率，利用期望公式求解．
练习册系列答案
相关题目
13．
某校理科实验班的100名学生期中考试的语文数学成绩都不低于100分，其中语文成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是：[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]．这100名学生语文成绩某些分数段的人数x与数学成绩相应分数段的人数y之比如下表所示：
（Ⅰ）估计这100名学生数学成绩的中位数；
（Ⅱ）从数学成绩在[130，150]的学生中随机选取2人，该2人中数学成绩在[140，150]的人数为X，求X的数学期望EX．
某校理科实验班的100名学生期中考试的语文数学成绩都不低于100分，其中语文成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是：[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]．这100名学生语文成绩某些分数段的人数x与数学成绩相应分数段的人数y之比如下表所示：| 分组区间 | [100，110） | [110，120） | [120，130） | [130，140） |
| x：y | 1：2 | 2：1 | 3：4 | 1：1 |
（Ⅱ）从数学成绩在[130，150]的学生中随机选取2人，该2人中数学成绩在[140，150]的人数为X，求X的数学期望EX．
