Question

15．设点A、B的坐标分别为（-2，0），（2，0），点P是曲线C上任意一点，且直线PA与PB的斜率之积为$-\frac{1}{4}$，（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）过点（m，0）作圆x²+y²=1的切线交曲线C于E、F两点，当|m|＞1时求|EF|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设动点P的坐标为（x，y），可表示出直线PA，PB的斜率，根据题意直线PA、PB的斜率之积为$-\frac{1}{4}$，建立等式求得x和y的关系式，即点P的轨迹方程．
（Ⅱ）当|m|＞1时，设切线l的方程为y=k（x-m），与椭圆方程联立，利用l与圆x²+y²=1相切，得$\frac{|km|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$，表示出|EF|，利用基本不等式，即可求|EF|的最大值．

解答 解：（Ⅰ）设P（x，y），则${k_{PA}}•{k_{PB}}=\frac{y}{x+2}×\frac{y}{x-2}=-\frac{1}{4}$…2分
化简得$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1，x≠±2$…（5分）
（Ⅱ）当|m|＞1时，设切线l的方程为y=k（x-m），…（6分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-m）\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$得（1+4k²）x²-8k²mx+4k²m²-4=0…（8分）
设E、F两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则
x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}m}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$…（9分）
又由l与圆x²+y²=1相切，得$\frac{|km|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$即m²k²=k²+1
所以$|EF|=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{\frac{{64{k^4}{m^2}}}{{{{（1+4{k^2}）}^2}}}-\frac{{4（4{k^2}{m^2}-4）}}{{1+4{k^2}}}}=\frac{{4\sqrt{3}|m|}}{{{m^2}+3}}≤\frac{{4\sqrt{3}}}{{|m|+\frac{3}{|m|}}}≤2$…（11分）
且当$m=±\sqrt{3}$时，|EF|=2，所以|EF|的最大值为2．…（12分）

点评 本题考查轨迹方程的求解，考查直线与圆、椭圆的位置关系，考查基本不等式的运用，联立方程，利用韦达定理解题是关键．