题目内容
【题目】已知函数
(Ⅰ)求函数的图像在点
处的切线方程.
(Ⅱ)若且
对任意
恒成立,求
的最大值;
(Ⅲ)当时,证明:
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)3;(Ⅲ)证明见解析.
【解析】
(Ⅰ)首先求得导函数的解析式,据此可得切线的斜率,然后求解切线方程即可;
(Ⅱ)将原问题转化为函数在给定区间上恒成立的问题,构造新函数,结合函数的单调性和零点存在定理即可确定的最大值;
(Ⅲ)结合(Ⅱ)中证得的函数单调性和不等式的性质得到关于m,n的不等式,对不等式进行整理变形即可证得题中的结论.
(Ⅰ)因为,所以
,
函数的图像在点
处的切线方程
;
(Ⅱ)由题意可知对任意
恒成立即
对任意
恒成立.
令,则
,
令,则
,
所以函数在
上单调递增,
因为,
,
所以方程在
上存在唯一实根
,
且满足.
当时,
即
,
当时,
,即
,
所以函数在
上单调递减,在
上单调递增,所以:
,
所以,故整数
的最大值是3.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,是
上的增函数,
所以当时,
即
,
整理得,
因为,故
,
所以,
即,
即,
所以.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】“五一”期间,甲乙两个商场分别开展促销活动.
(Ⅰ)甲商场的规则是:凡购物满100元,可抽奖一次,从装有大小、形状相同的4个白球、4个黑球的袋中摸出4个球,中奖情况如下表:
摸出的结果 | 获得奖金(单位:元) |
4个白球或4个黑球 | 200 |
3个白球1个黑球或3个黑球1个白球 | 20 |
2个黑球2个白球 | 10 |
记为抽奖一次获得的奖金,求
的分布列和期望.
(Ⅱ)乙商场的规则是:凡购物满100元,可抽奖10次.其中,第次抽奖方法是:从编号为
的袋中(装有大小、形状相同的
个白球和
个黑球)摸出
个球,若该次摸出的
个球颜色都相同,则可获得奖金
元;记第
次获奖概率
.设各次摸奖的结果互不影响,最终所获得的总奖金为10次奖金之和.
①求证:;
②若某顾客购买120元的商品,不考虑其它因素,从获得奖金的期望分析,他应该选择哪一家商场?