题目内容
【题目】如图,三棱柱中,
平面
,
,
,
,以
,
为邻边作平行四边形
,连接
和
.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)求直线与平面
所成角的正弦值;
(Ⅲ)线段上是否存在点
,使平面
与平面
垂直?若存在,求出
的长;若不存在,说明理由.
【答案】(1)平面
;(2)
;(3)线段
上不存在点
,使平面
与平面
垂直.
【解析】
试题(1)要证明线面平行,需要在平面中找出一条直线平行于
.连结
,
三棱柱
中
且
,由平行四边形
得
且
,
且
,
四边形
为平行四边形,
,
平
,
平面
,
平面
.(2)建立空间直角坐标系,设平面
的法向量为
,利用
即
,令
,则
,
,
,
直线
与平面
所成角的正弦值为
. (3)设
,
,则
,设平面
的法向量为
,利用垂直关系
, 即
,令
,则
,
,所以
,因为平面
的法向量为
,假设平面
与平面
垂直,则
,解得,
线段
上不存在点
,使平面
与平面
垂直.
试题解析:(1)连结,
三棱柱
中
且
,
由平行四边形得
且
且
1分
四边形
为平行四边形,
2分
平
,
平面
3分
平面
4分
(2)由,四边形
为平行四边形得
,
底面
如图,以为原点建立空间直角坐标系
,则
,
,
,
, 1分
,
,
设平面的法向量为
,则
即
,令
,则
,
3分
直线
与平面
所成角的正弦值为
. 5分
(3)设,
,则
1分
设平面的法向量为
,则
, 即
令,则
,
,所以
3分
由(2)知:平面的法向量为
假设平面与平面
垂直,则
,解得,
线段
上不存在点
,使平面
与平面
垂直.
5分
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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