题目内容
【题目】在四棱锥中,平面
平面PCD,底面ABCD为梯形,
,
,M为PD的中点,过A,B,M的平面与PC交于N.
,
,
,
.
(1)求证:N为PC中点;
(2)求证:平面PCD;
(3)T为PB中点,求二面角的大小.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)45°
【解析】
(1)利用线面平行的性质可得,又由M为PD的中点,即可求证N为PC中点;
(2)利用面面垂直的性质,可过点作
,可证
,再结合线面垂直的判定定理即可求证;
(3)采用建系法以为
轴,
为
轴,
为
轴建立空间直角坐标系,利用向量法即可求出二面角
的大小
(1),
平面
,
平面
,
平面
,
由线面平行的性质可得,,
又,
,
M为PD的中点,
为PC的中点;
(2)过点作
交
与点
,
又平面
平面PCD,交线为
,故
平面
,
又平面
,
,
又,
,
平面PCD;
(3)由(2)可知平面PCD,
,故以
为
轴,
为
轴,
为
轴建立空间直角坐标系,如图:
求得,
为
的中点,故
,
,
,
可设平面的法向量为
,平面
的法向量为
,故有
,取
得
,则
,故
,故二面角
的大小为45°
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