Question

【题目】已知椭圆的一个焦点为，且在椭圆E上．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）已知垂直于x轴的直线交E于A、B两点，垂直于y轴的直线交E于C、D两点，与的交点为P，且，间：是否存在两定点M，N，使得为定值？若存在，求出M，N的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，两定点，

【解析】

（1）利用焦点为，且在椭圆E上，利用椭圆定义，即得解;

（2）设出A，B，C，D坐标，利用，得到P在双曲线上，结合双曲线定义，可得.

（1）由题意得，，椭圆的两焦点为和，

因为点在椭圆C上，

所以根据椭圆定义可得：，

所以，所以，

所以椭圆E的标准方程为．

（2）设，

则，

消去，得，

所以点P在双曲线上，

因为T的两个焦点为，实轴长为，

所以存在两定点，

使得为定值．