题目内容
【题目】已知函数有两个零点
.
(1)求的取值范围;
(2)记的极值点为
,求证:
.
【答案】(1)(2)见解析
【解析】
(1)求导得,分类讨论求出函数的单调性,从而可求出答案;
(2)由题意得,则
,令函数
,则
,利用导数可求得
,从而可得
,可得
,要证
,只需
,令
,即证
,令
,求导后得函数的单调性与最值,由此可证结论.
解:(1)因为,
当时,
,
在
单调递增,至多只有一个零点,不符合题意,舍去;
当时,若
,则
;若
,则
,
所以在
单调递增,在
单调递减,
所以,
因为有两个零点,所以必须
,则
,
所以,解得
,
又因为时,
;
时,
,
所以当时,
在
和
各有一个零点,符合题意,
综上,;
(2)由(1)知,且
,
因为的两个零点为
,所以
,所以
,
解得,令
所以
,
令函数,则
,
当时,
;当
时,
;
所以在
单调递增,在
单调递减,
所以,所以
,所以
,
因为,又因为
,所以
,
所以,即
,
要证,只需
,
即证,即证
,即证
,
令,再令
,即证
,
令,则
,
所以在
单调递增,所以
,
所以,原题得证.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】红铃虫是棉花的主要害虫之一,能对农作物造成严重伤害,每只红铃虫的平均产卵数y和平均温度x有关,现收集了以往某地的7组数据,得到下面的散点图及一些统计量的值.(表中)
平均温度 | 21 | 23 | 25 | 27 | 29 | 32 | 35 | ||
平均产卵数 | 7 | 11 | 21 | 24 | 66 | 115 | 325 | ||
27.429 | 81.286 | 3.612 | 40.182 | 147.714 | |||||
(1)根据散点图判断,与
(其中
自然对数的底数)哪一个更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)并由判断结果及表中数据,求出y关于x的回归方程.(计算结果精确到小数点后第三位)
(2)根据以往统计,该地每年平均温度达到28℃以上时红铃虫会造成严重伤害,需要人工防治,其他情况均不需要人工防治记该地每年平均温度达到28℃以上的概率为.
①记该地今后5年中,恰好需要3次人工防治的概率为,求
的最大值,并求出相应的概率p.
②当取最大值时,记该地今后5年中,需要人工防治的次数为X,求X的数学期望和方差.
附:线性回归方程系数公式.