Question

4．如图所示直角梯形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，∠ACD=60°，AB=3DC=3，若线段BC上存在点E，使得AC、AE、AB成等比数列，则$\frac{CE}{CB}$等于（　　）

• A． $\frac{1+\sqrt{15}}{7}$
• B． $\frac{6-\sqrt{15}}{7}$
• C． $\frac{\sqrt{87}-9}{7}$
• D． $\frac{18-\sqrt{87}}{7}$

Answer 1

分析 建立直角坐标系．利用向量的坐标运算可得E（$\frac{3λ+1}{1+λ}$，$\frac{\sqrt{3}}{1+λ}$）．利用AC、AE、AB成等比数列，可得AE²=AC•AB，再利用两点之间的距离公式即可得出．

解答 解：如图所示，建立直角坐标系．A（0，0），B（3，0），C（1，$\sqrt{3}$），D（0，$\sqrt{3}$）．
设E（x，y），$\overrightarrow{CE}$=λ$\overrightarrow{EB}$，
∴（x-1，y-$\sqrt{3}$）=λ（3-x，-y）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-1=λ（3-x）}\\{y-\sqrt{3}=-λy}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{3λ+1}{1+λ}$，y=$\frac{\sqrt{3}}{1+λ}$．
∴E（$\frac{3λ+1}{1+λ}$，$\frac{\sqrt{3}}{1+λ}$）．
∵AC、AE、AB成等比数列，
∴AE²=AC•AB，
∴（$\frac{3λ+1}{1+λ}$）²+（$\frac{\sqrt{3}}{1+λ}$）²=3$\sqrt{1+3}$，
化为3λ²-6λ-2=0，（λ＞0）
解得λ=$\frac{3+\sqrt{15}}{3}$．
∴$\frac{CE}{CB}$=$\frac{1+\sqrt{15}}{7}$
故选：A．

点评 本题考查了向量的坐标运算、等比数列的性质、两点之间的距离公式，考查了实践能力，属于中档题．