题目内容
【题目】如图，在四棱柱
中， 
平面
,底面
为梯形， 
, 
， 
，点
， 
分别为
， 
的中点.
（Ⅰ）求证： 
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值；
（Ⅲ）在线段
上是否存在点
，使
与平面
所成角的正弦值是
，若存在，求
的长；若不存在，请说明理由.
【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）
（Ⅲ）
【解析】试题分析：（Ⅰ）连接
，证明四边形
是平行四边形. 得到
，即可证明
平面
（Ⅱ）以
为坐标原点，分别以直线
， 
为
轴， 
轴建立空间直角坐标系
，分别求出面
的法向量
和面
的法向量
，即可求出二面角
的余弦值；
（Ⅲ）存设点
，所以
设
与平面
所成角为
，所以
所以
，即可求出
的长
试题解析：（Ⅰ）连接
，因为点
， 
分别为
， 
的中点，
所以
， 
.
所以四边形
是平行四边形.
所以
因为
平面
， 
平面
，
所以
平面
（Ⅱ）因为
平面
, 
，
所以
平面
.
所以以
为坐标原点，分别以直线
， 
为
轴， 
轴建立空间直角坐标系
，则
轴在平面
内．
所以
， 
， 
， 
，
所以
， 
.
设平面
的法向量为
，所以
即
所以
.
设平面
的法向量为
，
所以
又二面角
为锐角，
所以二面角
的余弦值是
（Ⅲ）存在. 设点
，所以
设
与平面
所成角为
，所以
所以
，解得
所以
中考解读考点精练系列答案
【题目】甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：
甲公司送餐员送餐单数频数表
送餐单数 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 |
天数 | 10 | 15 | 10 | 10 | 5 |
乙公司送餐员送餐单数频数表
送餐单数 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 |
天数 | 5 | 10 | 10 | 20 | 5 |
（1）现从甲公司记录的50天中随机抽取3天，求这3天送餐单数都不小于40的概率；
（2）若将频率视为概率，回答下列两个问题：
①记乙公司送餐员日工资为
（单位：元），求
的分布列和数学期望；
②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．
