题目内容
【题目】如图,在三棱柱中,
,
是线段
的中点,且
平面
.
(Ⅰ)求证:平面平面
;
(Ⅱ)求证: 平面
;
(Ⅲ)若,
,求二面角
的余弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析(Ⅲ)
【解析】试题分析:(Ⅰ)由,可得
,由
平面
可得
.根据线面垂直的判定定理可得
平面
,再利用面面垂直的判定定理可得结论;(Ⅱ)连接
,设
,根据三角形中位线定理可得
,从而根据线面平行的判定定理可得
平面
;(Ⅲ)取
的中点
,则
,因为
,所以
,又因为
平面
,所以
两两垂直.以
为原点,分别以
为
轴建立空间坐标系,利用向量垂直数量积为零列方程组,分别求出平面
的一个法向量与平面
的一个法向量,根据空间向量夹角余弦公式,可得结果.
试题解析:(Ⅰ)证明:因为,所以
.
根据题意, 平面
,
平面
,所以
.
因为,所以
平面
.
又因为平面
,所以平面
平面
.
(Ⅱ)证明:连接,设
,连接
根据棱柱的性质可知,
为
的中点,因为
是
的中点,所以
.又因为
平面
,
平面
,
所以平面
.
(Ⅲ)如图,取的中点
,则
,因为
,所以
,
又因为平面
,所以
两两垂直.以
为原点,分别以
为
轴建立空间坐标系(如图).
由(Ⅰ)可知, 平面
,
所以.又因为
,
,所以
平面
,所以
,所以四边形
为菱形.
由已知,
则,
,
,
.
设平面的一个法向量为
,
因为,
,所以
,即
设,则
.
再设平面的一个法向量为
,
因为,
,所以
,即
设,则
.故
.
由图知,二面角的平面角为锐角,
所以二面角的余弦值为
.
【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、面面垂直的证明以及利用空间向量求二面角,属于难题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离.
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