Question

17．函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lnx|+3，}&{x＞0}\\{-{x}^{2}-2x-2，}&{x≤0}\end{array}\right.$，若关于x的方程f²（x）+bf（x）+3b+1=0有4个不同的实数根，则实数b的取值范围是[-5，-$\frac{5}{3}$）．

Answer 1

分析 先将函数进行换元，转化为一元二次函数问题．结合函数f（x）的图象，从而确定b的取值范围．

解答 解：令t=f（x），
则原函数等价为y=t²+bt+1+3b．
作出函数f（x）的图象如图
图象可知当t＞3，-2≤t＜-1时，
函数y=t和y=f（x）各有两个交点．
要使方程f²（x）+bf（x）+3b+1=0有4个不同的实数根，
则方程t²+bt+1+3b=0有两个根t₁，t₂，
且t₁＞3，-2≤t₂＜-1，
令g（t）=t²+bt+1+3b，则由根的分布可得，
$\left\{\begin{array}{l}{g（-2）≥0}\\{g（-1）＜0}\\{g（3）＜0}\end{array}\right.$即为$\left\{\begin{array}{l}{5+b≥0}\\{2+2b＜0}\\{10+6b＜0}\end{array}\right.$，即有$\left\{\begin{array}{l}{b≥-5}\\{b＜-1}\\{b＜-\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
可得-5≤b＜-$\frac{5}{3}$．
当g（t）=0的两根大于3时，可得$\left\{\begin{array}{l}{△={b}^{2}-12b-4＞0}\\{g（3）＞0}\\{-\frac{b}{2}＞3}\end{array}\right.$，解得b∈∅；
当g（t）=0的两根介于[-2，-1）时，
可得$\left\{\begin{array}{l}{△={b}^{2}-12b-4＞0}\\{g（-1）＞0}\\{g（-2）≥0}\\{-2＜-\frac{b}{2}＜-1}\end{array}\right.$，解得b∈∅．
故答案为：[-5，-$\frac{5}{3}$）．

点评 本题考查复合函数零点的个数问题，以及二次函数根的分布，换元是解决问题的关键，属中档题．