题目内容
【题目】已知椭圆:
的左焦点
,若椭圆上存在一点
,满足以椭圆短轴为直径的圆与线段
相切于线段
的中点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过坐标原点的直线交椭圆
:
于
、
两点,其中点
在第一象限,过
作
轴的垂线,垂足为
,连结
并延长交椭圆
于
,求证:
.
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)连接,由题设条件能够推导出
,在
中,
,由此能求出椭圆
的方程.(Ⅱ)由(Ⅰ)得椭圆
,设直线
的方程为
,并代入
得:
,利用根的判别式、中点坐标公式推导出当
,或
,或
时,直线
过椭圆
的顶点.(Ⅲ)法一:由椭圆
的方程为
,设
,则
,直线
的方程为
,过点
且与
垂直的直线方程为
,由此能够证明
.法二:由(Ⅰ)得椭圆
的方程为
,设
,则
,故
,由此能够证明
.
试题解析:
解:(Ⅰ)连接为原点,
为右焦点),由题意知:椭圆的右焦点为
因为是
的中位线,且
,所以
所以,故
在中,
即,又
,解得
所求椭圆的方程为
.---------6分
(Ⅱ)法一:由(Ⅰ)得椭圆的方程为
根据题意可设,则
则直线的方程为
…①
过点且与
垂直的直线方程为
…②
①②并整理得:
又在椭圆
上,所以
所以
即①、②两直线的交点在椭圆
上,所以
.
法二:由(Ⅰ)得椭圆的方程为
根据题意可设,则
,
,
所以直线
,化简得
所以
因为,所以
,则
所以,则
,即
.
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