Question

2．已知函数f（x）=e^x（ax+b），曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y=4x+1．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值．

Answer 1

分析 （1）化简可得f（x）=e^x（ax+b），f′（x）=e^x（ax+b+a），从而可得f（0）=e⁰b=1，f′（0）=e⁰（b+a）=4，从而解得．
（2）由（1）可得当x∈（-∞，-$\frac{4}{3}$）时，f′（x）＜0，当x∈（-$\frac{4}{3}$，+∞）时，f′（x）＞0；从而判断函数的单调性及极值．

解答 解：（1）∵f（x）=e^x（ax+b），
∴f′（x）=e^x（ax+b+a），
又∵曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y=4x+1，
∴f（0）=e⁰b=1，f′（0）=e⁰（b+a）=4，
故a=3，b=1；
（2）f（x）=e^x（3x+1），f′（x）=e^x（3x+4），
故当x∈（-∞，-$\frac{4}{3}$）时，f′（x）＜0，
当x∈（-$\frac{4}{3}$，+∞）时，f′（x）＞0；
故函数f（x）在（-∞，-$\frac{4}{3}$）上是减函数，在（-$\frac{4}{3}$，+∞）上是增函数；
故当x=-$\frac{4}{3}$时，f（x）有极小值为f（-$\frac{4}{3}$）=${e}^{-\frac{4}{3}}$•（3×（-$\frac{4}{3}$）+1）=-3${e}^{-\frac{4}{3}}$．

点评 本题考查了导数的综合应用及函数的单调区间的求法．