Question

12．已知函数f_t（x）=-（x-t）²+t（t∈R），设a＞b，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{f}_{a}（x），{f}_{a}（x）≥{f}_{b}（x）}\\{{f}_{b}（x），{f}_{a}（x）＜{f}_{b}（x）}\end{array}\right.$，若函数y=f（x）-x+a-b有四个零点，则b-a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-2-$\sqrt{5}$）
• B． （-∞，2-$\sqrt{5}$）
• C． （-2-$\sqrt{5}$，0）
• D． （2-$\sqrt{5}$.0）

Answer 1

分析 解方程f_a（x）=f_b（x）得交点坐标，函数f（x）的图象与直线l：y=x+b-a有四个不同的交点，由图象知，点P在l下方，由此解得b-a的取值范围．

解答 解：作函数f（x）的图象，且解方程f_a（x）=f_b（x）得，
-（x-a）²+a=-（x-b）²+b，解得x=$\frac{a+b-1}{2}$，
此时y=-（$\frac{a+b-1}{2}$-b）²+b=-（$\frac{a-b-1}{2}$）²+b，
即交点坐标为（$\frac{a+b-1}{2}$，-（$\frac{a-b-1}{2}$）²+b），
若y=f（x）-x+a-b有四个零点，
即f（x）-x+a-b=0有四个根，
即f（x）=x+b-a，
分别作出f（x）与y=x+b-a的图象如图：

要使函数y=f（x）-x+a-b有四个零点，
即函数f（x）的图象与直线l：y=x+b-a有四个不同的交点．
由图象知，点P在下方，
所以-（$\frac{a-b-1}{2}$）²+b＜$\frac{a+b-1}{2}$+b-a，
即（$\frac{a-b-1}{2}$）²＞$\frac{a-b+1}{2}$，
设t=a-b，则t＞0，
则方程等价为$\frac{（t-1）^{2}}{4}$＞$\frac{t+1}{2}$，即t²-4t-1＞0，
即t＜2$-\sqrt{5}$，或t＞2+$\sqrt{5}$，
∵t＞0，
∴t＞2+$\sqrt{5}$，
故b-a=-t＜-2-$\sqrt{5}$，
即b-a的取值范围是（-∞，-2-$\sqrt{5}$），
故选：A

点评 本题主要考查根的存在性以及根的个数判断，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，利用数形结合是解决本题的关键．